第一次数学危机

第一次数学危机

第一次数学危机是数学史上的一次重要事件，它发生于公元前400年的古希腊时期，以根号2的发现为起点，到公元前370年左右以无理数的定义出现而结束。

第一次数学危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。毕达哥拉斯是古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学

毕达哥拉斯

术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的基石。不过毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理（我们称为勾股定理）却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。

毕达哥拉斯定理提出后，学派中一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。这个发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派大为恐慌。这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与人们常识的冲突上：我们日常的经验认为，任何量都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被根号2的发现而推翻了！这应该是多么违反常识多么荒谬的事，它把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一危机人们竟然毫无办法解决。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，即第一次数学危机。

到了大约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯解决了关于无理数的问题，标志着第一次数学危机的结束。他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷收录。

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大冲击。于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的产物。